Xây hồ cá Koi với đại số Lie

Khi tôi lớn lên, một trong những địa điểm yêu thích của tôi là quán ăn tự chọn tồi tàn gần nhà chúng tôi.

Chúng tôi bước vào, mẹ tôi sẽ đến gặp bà chủ để giải thích rằng, mặc dù tôi lớn bất thường so với tuổi của tôi, nhưng tôi đủ tiêu chuẩn để ăn uống không dành cho trẻ em, và tôi sẽ đi ra ngoài để nhìn chằm chằm vào hồ cá Koi. Màn trình diễn của những con cá khác nhau lăn qua nhau thật mê hoặc. Tôi lúc mười tuổi đã ham chơi để xây hồ cá Koi của riêng mình, và bây giờ cuối cùng tôi đã có. Tuy nhiên, tôi đã xây dựng một cái bằng cách sử dụng đại số Lie.

Các loài cá khác nhau bơi trong hồ Koi, theo nhiều cách, giống như phí được trao đổi giữa các hệ thống con. “Phí” là bất kỳ số lượng được bảo tồn trên toàn cầu. Ví dụ về điện tích bao gồm năng lượng, hạt, điện tích hoặc động lượng góc. Hãy xem xét một hệ thống bao gồm một tách cà phê trong văn phòng của bạn. Cà phê sẽ tự động trao đổi điện tích với văn phòng của bạn dưới dạng nhiệt năng. Tuy nhiên, tổng năng lượng của cà phê và văn phòng vẫn được bảo toàn (giả sử các bức tường văn phòng của bạn thực sự được cách nhiệt tốt).

Trong ví dụ này, chúng tôi có một loại điện tích (năng lượng nhiệt) và hai hệ thống con (cà phê và văn phòng). Bây giờ hãy xem xét một hệ thống khép kín bao gồm nhiều hệ thống con và nhiều loại phí khác nhau.

Hệ thống khép kín giống như hồ cá Koi hữu hạn với các điện tích khác nhau giống như các loài cá khác nhau. Các khoản phí có thể thay đổi cục bộ, nhưng tổng số khoản phí là cố định trên toàn cầu, giống như cách cá bơi xung quanh nhưng không thể thoát khỏi ao.

Ngoài ra, sự hiện diện của một loại điện tích có thể làm thay đổi chuyển động của loài khác, giống như một con cá lớn có thể chặn đường của một con nhỏ.

Thật không may, sự tương tự trong hồ cá Koi đạt đến giới hạn khi chúng ta chuyển sang điện tích lượng tử. Cổ điển, tính phí đi làm. Điều này có nghĩa là chúng tôi có thể đồng thời xác định số lượng của mỗi khoản phí trong hệ thống của chúng tôi tại mỗi thời điểm nhất định. Trong cơ học lượng tử, điều này không nhất thiết đúng. Nói cách khác, về mặt cổ điển, tôi có thể đếm số lượng cá bóng và cá mờ. Nhưng, trong cơ học lượng tử, tôi không thể.

Vậy tại sao điều này lại quan trọng? Các hệ thống con trao đổi điện tích rất phổ biến trong nhiệt động lực học. Nhiệt động lực học lượng tử mở rộng nhiệt động lực học để bao gồm các hệ thống nhỏ và hiệu ứng lượng tử. Phi hạt nhân hóa làm cơ sở cho nhiều hiện tượng lượng tử quan trọng. Do đó, nghiên cứu sự trao đổi của các điện tích không tắt là quan trọng trong việc hiểu nhiệt động lực học lượng tử. Do đó, các điện tích không tắt dần đã nổi lên như một trường con đang phát triển nhanh chóng của nhiệt động lực học lượng tử. Nhiều kết quả thú vị đã được khám phá từ việc không còn giả định rằng tính phí đi làm (chẳng hạn như những điều này).

Cho đến gần đây, hầu hết những khám phá này chỉ là lý thuyết. Cầu nối những khám phá này với thực tế thử nghiệm đòi hỏi các Hamiltonians (các chức năng cho bạn biết cách hệ thống của bạn phát triển theo thời gian) di chuyển các khoản phí cục bộ nhưng bảo tồn chúng trên toàn cầu. Năm ngoái, người ta không biết liệu những người Hamiltonians này có tồn tại hay không, nhìn chung chúng trông như thế nào, cách xây dựng chúng và bạn có thể tìm thấy chúng với mức phí nào.

Nicole Yunger Halpern (nhà vật lý NIST, đồng cố vấn của tôi và blogger Quantum Frontiers) và tôi đã phát triển một đơn thuốc xây hồ cá Koi không tính phí. Đơn thuốc của chúng tôi cho phép bạn xây dựng các Hamiltonians một cách có hệ thống để di chuyển công khai các khoản phí không hoán đổi giữa các hệ thống con trong khi vẫn bảo toàn các khoản phí trên toàn cầu. Những Hamiltonians này được xây dựng bằng cách sử dụng đại số Lie, công cụ toán học trừu tượng có thể mô tả nhiều đại lượng vật lý (bao gồm mọi thứ trong mô hình tiêu chuẩn của vật lý hạt và thước đo không-thời gian). Kết quả của chúng tôi gần đây đã được công bố trên npj QI. Chúng tôi hy vọng rằng đơn thuốc của chúng tôi sẽ thúc đẩy những nỗ lực để kết nối kết quả của các khoản phí không xác định với thực tế thử nghiệm.

Cuối cùng, một lý thuyết nhóm nhỏ là tất cả những gì tôi cần cho hồ cá Koi của mình. Có thể sắp tới tôi sẽ xây một ngôi nhà trên cây bằng phép tính toán hoặc một chiếc ô tô điều khiển từ xa bằng phép tổ hợp.